О разложении аналитических функций по ультрасферическим многочленам на сфере

А. В. Фролов, В. И. Цветков

Рассмотрен алгоритм построения двухмерных рядов Фурье в сферической системе координат по полному набору ортогональных ультрасферических многочленов, частными случаями которых являются многочлены Лежандра и многочлены Чебышева первого и второго родов. Предложенные ряды равномерно сходятся во всех точках сферы включая полюса. В отличие от традиционных спектральных разложений на сфере они содержат в явном виде дополнительные слагаемые, которые характеризуют нечетную составляющую искомой аналитической функции относительно полюсов. Показано, что в малой окрестности полюсов ("полярных шапок") разложение упрощается вследствие близости к нулю слагаемых ряда Фурье, ответственных за аппроксимацию нечетных относительно полюсов составляющих функций. С приближением к экваториальной зоне значение несимметричных относительно полюсов компонентов искомой функции увеличивается и сравнивается с вкладом симметричных компонентов. Новый метод применяется для частного случая спектральной аппроксимации непрерывной скалярной аналитической функции с использованием в качестве ортогонального базиса сферических гармоник. Показано, что двойные ряды Фурье в этом случае дают расширение традиционного спектрального метода. Альтернативной возможностью является построение двойных рядов Фурье по присоединенным многочленам Чебышева первого и второго родов. Дается пример спектральной аппроксимации аналитической функции на сфере.